Fungsi Distribusi Peubah Acak

1.      Fungsi Distribusi Suatu Peubah Acak

Misalkan X suatu peubah acak. Fungsi F dari R ke dalam  yang didefenisikan oleh :

 untuk setiap x di R dinamakah fungsi distribusi dari X. Oleh karena itu jika f adalah f.k.p dari X, maka :

Contoh 1

Peubah acak X memiliki f.k.p sebagai berikut :

Carilah fungsi distribusi dari X dan gambarkan grafiknya.

Penyelesaian :

a.       Karena X diskrit, maka fungsi distribusi dari X adalah

Dengan memasukkan setiap harga x di R, kita peroleh :

b.      Grafik dai  adalah sebagai berikut :

Perhatikan bahwa  merupakan fungsi tangga dan kontinu kanan di mana-mana.

1

0

1

Contoh 2

Peubah acak X diketahui memiliki f.k.p sebagai berikut

Carilah fungsi distribusinya dan gambarkan grafiknya.

Penyelesaian :

a.       Karena X kontinu, maka fungsi distribusinya adalah

(i)                 Untuk x < 1, maka

(ii)               Untuk  dan

Jadi fungsi distribusi dari X adalah :

b.      Grafik dari F(x) adalah sebagai berikut

 

Catatan : Fungsi distribusi pada contoh 2 bersifat kontinu di mana-mana, dan  kecuali di  jadi f.k.p dari X sama dengan  kecuali untuk  karena  maka  dapat didefenisikan sembarang.

Sebagai konsekuensi dari sifat-sifat peluang, maka kita peroleh sifat-sifat fungsi distribusi  sebagai berikut :

 untuk setiap x di R

 adalah fungsi yang tidak turun, artinya jika  maka

 kontinu kanan dimana-mana

Sifat (iv) dapat dijelaskan sebagai berikut. Untuk setiap  dan x bilangan riil sembarang, berlaku :

Khususnya bilangan X kontinu, kita peroleh :

Hal ini berlaku pula bila X diskrit. Jadi, karena

Maka F kontinu kanan dimana-mana.

Keempat sifat diatas adalah sifat karakteristik dari suatu fungsi distribusi. Artinya bila suatu fungsi memiliki keempat sifat diatas, maka fungsi tersebut mendefenisikan suatu fungsi distribusi.

Catatan : suatu fungsi distribusi belum tentu kontinu kiri untuk setiap x di R, sebab ;

Dalam hal ini X kontinu, benar F kontinu kiri dimana-mana, sebab  yang berarti

Dalam hal X diskrit dan  dimana  maka F tidak kontinu kiri di x, sebab

Contoh 3

Peluang acak X memiliki fungsi distribusi sebagai berikut

a.       Gambarlah grafik dari

b.      Hitunglah

Penyelesaian :

a.       Untuk , grafik  berupa garis lurus yang melalui titik . Jadi grafiknya adalah sebagai berikut:

	1
				1			x

 

b.     

2.      Fungsi Distribusi Dari Fungsi Suatu Peubah Acak

Misalkan X peubah acak pada ruang sampel , dengan ruangnya , perhatikan fungsi berharga riil , yang merupakan fungsi dari X. Jadi Y merupakan fungsi komposisi yang didefenisikan pada . Artinya, untuk setiap c di , berlaku :

Dengan demikian, Y juga suatu peubah acak pada  dan ruang dari Y adalah

Akibatnya jika y di , maka peristiwa

Terjadi jika dan hanya jika peristiwa  terjadi. Jadi fungsi distribusi dari Y adalah :

        

Untuk memperjelas konsep diatas, perhatikanlah contoh berikut.

Contoh 4

Peubah acak X diketahui memiliki f.k.p sebagai berikut

Jika , tentukanlah fungsi distribusi dan f.k.p dari Y.

Penyelesaian :

a.       Fungsi distribusi dari Y adalah  karena

Maka ruang dari Y adalah

(i)                 Untuk , maka  sebab

(ii)               Untuk , maka

(iii)             Untuk , maka

Jadi fungsi distribusi dari Y adalah :

b.      Karena F kontinu dimana-mana, maka f.k.p dari Y adalah

Jadi

3.      Fungsi Distribusi Bersama Dari Beberapa Peubah Acak

Misalkan  peubah-peubah acak pada ruang sampel fungsi F dari  ke dalam  yang didefenisikan oleh

Dinamakan fungsi distribusi bersama dari . Jadi, jika  f.k.p bersama dari , maka

Jadi, jika  kontinu maka di titik-titik dimana kontinu, berlaku :

Contoh 5

Peubah-peubah acak X, Y, Z memiliki f.k.p bersama sebagai berikut

Carilah fungsi distribusi bersama X, y, Z.

Penyelesaian :

Jelas X, Y, Z kontinu. Jadi fungsi distribusi bersama dari X, Y, Z adalah

(i)                 Untuk , intengral lipat 3 dikanan menghasilkan

(ii)               Untuk x,y,z yang lain, kita peroleh

Jadi