Peluang

A.      Sejarah peluang

Teori peluang menyangkut dengan cara menentukan hubungan antara sejumlah kejadian khusus dengan jumlah kejadian sebarang. Misalnya pada kasus pelemparan uang sebanyak seratus kali, berapa kali akan munculnya gambar.

     Teori peluang awalnya diinspirasi oleh masalah perjudian. Awalnya dilakukan oleh matematikawan dan fisikawan Itali yang bernama Girolamo Cardano (1501-1576). Cardano lahir pada tanggal 24 September 1501. Cardano merupakan seorang penjudi pada waktu itu. Walaupun judi berpengaruh buruk terhadap keluarganya, namun judi juga memacunya untuk mempelajari peluang. Dalam bukunya yang berjudul Liber de Ludo Aleae (Book on Games of Changes) pada tahun 1565,  Cardano banyak membahas konsep dasar dari peluang yang berisi tentang masalah perjudian. Sayangnya tidak pernah dipublikasikan sampai 1663. Girolamo merupakan salah seorang dari bapak probability. Di bukunya Cardano menulis tentang permasalahan peluan, yaitu:

Jika 3 buah dadu dilempar bersamaan sebanyak 3 kali, berapa peluang untuk mendapatkan mata dadu minimal 1,1 pada setiap lemparan.

Jika 2 buah dadu dilempar bersamaan sebanyak 3 kali, berapa peluang untuk mendapatkan mata dadu 1,1 paling sedikit dua kali.

Pada tahun 1654, seorang penjudi lainnya yang bernama Chevalier de Mere menemukan sistem perjudian. Ketika Chevalier kalah dalam berjudi dia meminta temannya Blaise Pascal (1623-1662) untuk menganalisis sistim perjudiannya. Pascal menemukan bahwa sistem yang dipunyai oleh Chevalier akan mengakibatkan peluang dia kalah 51 %. Pascal kemudian menjadi tertarik dengan peluang, dan mulailah dia mempelajari masalah perjudian. Dia mendiskusikannya dengan matematikawan terkenal yang lain yaitu Pierre de Fermat (1601-1665). Mereka berdiskusi pada tahun 1654 antara bulan Juni dan Oktober melalui 7 buah surat yang ditulis oleh Blaise Pascal dan Pierre de Fermat yang membentuk asal kejadian dari konsep peluang.

Blaisé Pascal bekerjasama dengan Fermat menyelesaikan soal-soal yang diberikan oleh Chevalier de Mere, diantaranya:

Ø Berapa kali kita harus melemparkan dua buah dadu, sehingga minimal separuh  mata dadu yang muncul keduanya angka 6.

Ø Dalam permainan dadu, dadu dilempar sebanyak 8 kali, permainan berakhir bila seorang gagal mendapat  mata dadu 1 sebanyak tiga kali.

B.       Pengertian Suatu  Peluang

Peluang (probabilitas) terjadinya sesuatu adalah kemungkinan sesuatu tersebut akan terjadi.Nilai peluang terletak antara 0 dan 1,dimana 0  berarti suatu ketidakmungkinan mutlak dan 1 berarti suatu kepastian mutlak .Peluang terjadinya suatu  peristiwa biasanya terletak diantara kedua nilai ekstrim ini dan diyatakan bisa sebagai  pecahan biasa atau desimal.(0

Percobaan adalah suatu tindakan atau kegiatan yang dapat diulang dengan keadaan yang sama untuk memperoleh hasil tertentu. sedangkan ruang sampel adalah himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu  percobaan

a.      Jika n(A) banyak peristiwa yang diharapkan dan n(S) banyak semua peristiwa  yang terjadi maka  peluang terjadinya  peristiwa yang diharapkan adalah

Contoh:

Pada pelemparan sebuah kubus bernomor,tentukan  peluang munculnya angka genap

Jawab : misalkan B adalah peluang angka genap maka B=(2,4,6). Berarti n(B)=3 jadi peluang munculnya angka genap adalah

    =  =

b.      Komplemen kejadian A adalah kejadian bukan A,ditulis   yang dirumuskan

P( )=1-p(A)

Atau

P( )=

Contoh:

Pada percobaan pelemparan sebuah kubus bernomor,A adalah kejadian munculnya bilangan ganjil. Tentukan peluang  kejadian   .

Jawab: pada percobaan tersebut,ruang sampelnya adalah S=(1,2,3,4,5,6) sehingga n(S)=6.A adalah kegiatan munculnya bilangan ganjil sehingga A=(1,3,5) jadi n(A)=3

Dapat dikerjakan  = P( )=1-p(A) =1-

c.       Jika p(A) peluang  terjadinya peristiwa A dan N  banyaknya  percobaan  ,maka frekuensi harapan terjadinya A adalah h(A)=n.p(A)

Contoh:

Pada percobaan pelemparan kubus berangka sebanyak 300 kali,berapakah  frekuensi harapan kejadian munculnya angka 4.

Jawab: ruang  sampel percobaan adalah S=(1,2,3,4,5,6) sehingga n(S)=6. Dan A peluang munculnya angka 4 sehingga n(A)=1 berarti

Jadi frekuensi harapan munculnya angka 4 adalah h(A)=n.p(A) .

C.   Hukum-hukum  peluang

Adpun hukum-hukum peluang yaitu:

·           Hukum penjumlahan dari peluang

Hukum penjumlahan dari peluang dapat dikenali dari kata “atau” yang mennghubungkan peluang-peluang.jika p(A) adalah peluang terjadinya peristiwa A dan p(B)  adalah  peluang  terjadinya  peristiwa  B,peluang dari peristiwa  A  atau  B terjadi  adalah  p(A)+p(B). Demikian juga peluang dari peristiwa  A  atau  B  atau Catau...N terjadi adalah:

P(A)+p(B)+p(C)+ . . .+ P(N)

·           Hukum  perkalian  dari  peluang

Hukum  perkaliam  dari  peluang  dapat  dikenali  dari  kata “dan” yang mennghubungkan peluang-peluang.jika p(A) adalah peluang terjadinya A. JikaP(B)  adalah  peluang  terjadinya  peristiwa  B,peluang dari peristiwa  A  dan  B terjadi  adalah  p(A)×p(B). Demikian juga peluang dari peristiwa  A  atau  B  dan C dan...N terjadi adalah:

P(A)×p(B)×p(C)×. . .× P(N)

D.  Peluang Majemuk

Pada pembahasan sebelumnya, kita telah mengetahui bahwa kejadian majemuk merupakan kejadian yang memiliki lebih dari satu titik sampel. Kejadian  majemuk dapat dibentuk dari kejadian-kejadian sederhana atau kejadian majemuk lainnya.

·         Dua kejadian yang saling lepas

Artinya adalah peristiwa dimana peluang tejadinya suatu peristiwa mempengaruhi peluang peluang peristiwa lainnya.  Misal A dan B dua peristiwa yang diharapkan bila terjadinya A menyebabkan peluang B. Maka dua peristiwa itu disebut saling lepas. Atau saling asing .

Rumus: P (A atau B ) = P(A) + P(B)

Atau

             P(A   V    B) = P(A) + P(B)  

Contoh :

sebuah dadu dilemparkan berapa peluang muncul angka 3 dan 6 ????

Jawab = 

                   P(3)  ;   p(6) =

                               Jika 3 muncul, maka 6 tidak muncul .

                               Jika 6 muncul, maka 3 tidak muncul.

Peluang gabungan kejadian itu (aturan penjumlahan)         

   P(A   V    B) = P(A) +P(B)

=   +  =

                                   

·         Dua kejadian yang saling bebas

Artinya adalah peristiwa dimana peluang  terjadinya suatu peristiwa tidak mempengaruhi peluang terjadinya peristiwa lainnya.misal A dan B dua peristiwa yang diharapkan bila terjadinya A tidak mempengaruhi terjadinya B maka dua peristiwa itu disebut dua peristiwa yang saling bebas.

       Rumus  =  P( A dan B ) = P(A) . P(B)

                               Atau

                         P(A) ˄ P(B) = P(A) . P(B)

Contoh :

Dua dadu dilempar bersama.berapa peluang muncul mata 2 pada  dadu I dan mata 3 pada dadu II???

Jawab :

         Dadu I P(2) =     dadu II P(3) =

         Maka peluang mata 2 pada dadu I dan mata 5 pada daduII

            =      =   (aturan perkalian)